25194: ریاضیات مهندسی پیشرفته
نام درس: ریاضیات مهندسی پیشرفته (Advanced Engineering Mathematics)
شماره درس: 25194
پیش‌نیاز(ها): -
هم‌نیاز(ها): -
تعداد واحد: 3
مقطع: کارشناسی ارشد
آخرین ویرایش: پاییز 1391

توضیحات:
هدف این درس آشنایی دانشجویان با برخی از ابزارهای ریاضیاتی مورد استفاده در مهندسی برق است.
 
سرفصل‌ها:
  • فضاهای متریک: تعریف متر و فضاهای متریک، مثال‌هایی از فضاهای متریک، آشنایی با مفاهیم همسایگی، مجموعه‌های باز و بسته، آشنایی با مفاهیم هم‌گرایی،‌ کوشی‌بودن یک دنباله و کامل‌بودن یک فضا، مثال‌هایی از فضاهای کامل و ناکامل به همراه اثبات یا رد کامل‌بودن آن فضاها
  • فضاهای نرم‌دار و فضاهای باناخ: آشنایی با فضاهای برداری، آشنایی با مفهوم زیرفضا، تعریف فضاهای با بعد متناهی (متناهی‌البعد) و با بعد نامتناهی (نامتناهی‌البعد)، تعریف نرم در یک فضای برداری، آشنایی با فضاهای نرم‌دار، آشنایی با مفاهیم نرم‌های معادل و هم‌گرایی در یک فضای نرم‌دار، تعریف فضاهای باناخ، مثال‌هایی از فضاهای نرم‌دار باناخ و غیر باناخ، بیان و اثبات قضایای مربوط به فضاهای نرم‌دار و فضاهای باناخ، کاربرد قضایای مطرح‌شده، تعریف اپراتورهای خطی و نرم آن‌ها، قضایای مربوط به اپراتورهای خطی، آشنایی با مفهوم تابعک (Functional) وقضایای مربوط به تابعک‌ها
  • فضاهای ضرب داخلی و فضاهای هیلبرت: تعریف ضرب داخلی و بیان خواص آن، آشنایی با فضاهای ضرب داخلی، تعریف فضاهای هیلبرت، مثال‌هایی از فضاهای ضرب داخلی هیلبرت و غیر هیلبرت، بیان و اثبات قضایای مربوط به فضاهای ضرب داخلی و فضاهای هیلبرت، آشنایی با مفهوم محدب (Convex) بودن یک زیرمجموعه، قضیه وجود و یکتایی جواب برای مسئله کمترین فاصله از یک زیرمجموعه محدب، آشنایی با مفاهیم جمع مستقیم (Direct Sum)، متمم جبری و قائم یک زیرفضا و بیان قضایای مربوطه، آشنایی با مفاهیم مجموعه‌ متعامد، متعامد یکه و ضرایب فوریه مرتبط به آن، متعامد یکه‌سازی مجموعه‌های مستقل خطی، نامساوی بسل، قضایای مربوط به هم‌گرایی سری‌های فوریه در فضاهای هیلبرت، چندجمله‌ای‌های Legender، Hermite، Chebyshev وLaguerre و کاربردهای آن‌ها، بیان تابعک‌ها در فضاهای هیلبرت (قضیه Riesz)
  • یادآوری از درس جبرخطی: مرور مطالب درس جبرخطی با تکیه بر بخش‌های نرم‌های برداری و ماتریسی، نامساوی‌های نرمی، و مبحث هم‌گرایی دنباله‌های ماتریسی
  • مفاهیم اولیه در جبر خطی عددی: بیان مسائل اصلی در جبر خطی عددی و بررسی اهمیت این مسائل در کنترل، ارائه چند الگوریتم‌ پایه‌ای، آشنایی با مفهوم فلاپ‌ و شمارش آن در یک الگوریتم، بررسی efficient بودن یک الگوریتم با توجه به حجم محاسبات آن، آشنایی با مفهوم پایداری یک الگوریتم (پایداری پیشرو، پایداری پسرو، پایداری ضعیف، ...)، تحلیل خطای Roundoff، مثال‌هایی از الگوریتم‌های پایدار و ناپایدار، آشنایی با مسئله Conditioning، مسائل خوش‌حالت (Well-conditioned problems)، مسائل بدحالت  (Ill-conditioned problems) و عدد حالت (Condition number) یک مسئله،‌ مثال‌هایی از مسائل خوش‌حالت و بدحالت، بررسی میزان اعتبار جواب به‌دست‌آمده از یک الگوریتم با توجه به پایداری الگوریتم و حالت مسئله
  • آشنایی با تجزیه‌های ماتریسی مهم و کاربردهای آن‌ها: آشنایی با تجزیه LU، ارائه الگوریتم‌های efficient برای یافتن این تجزیه و ارتباط آن با روش حذفی گوس بدون محورگیری، با محورگیری جزئی و با محورگیری کامل، بررسی پایداری این روش‌ها به کمک یافتن عامل رشد (Growth factor) در آن‌ها در حالت‌های مختلف، آشنایی با تجزیه Cholesky، ارائه الگوریتم‌های efficient برای یافتن این تجزیه و آشنایی با کاربردهای آن، آشنایی با تجزیه QR،‌ یافتن تجزیه QR به کمک تبدیلات Householder، یافتن تجزیه QR به کمک ماتریس‌های Givens، آشنایی با کاربردهای تجزیه QR
  • مسائلی از جبر خطی عددی: بررسی مسئله حل دستگاه معادلات خطی، بررسی خوش‌حالت یا بدحالت بودن مسئله، بیان و اثبات قضایای مربوط به نرم ماتریس‌های دارای اختلال (Perturbed matrices) و استفاده از این قضایا در تحلیل اختلال (Perturbation analysis) دستگاه معادلات خطی، روش‌های محاسباتی مستقیم برای حل مسئله، روش‌های تکراری برای حل مسئله، بررسی مسئله معکوس‌کردن یک ماتریس، ارائه فرمول‌های Sherman-Morrison و Woodbury، بررسی مسئله حداقل مربعات خطی (Linear Least-Squares Problem)، تعبیر هندسی مسئله، بررسی شرایط وجود و یکتایی جواب،‌ ارائه روش‌های محاسباتی برای یافتن جواب،‌ بررسی حساسیت در مسئله LSP، بررسی مسئله یافتن جواب دارای مینیمم نرم در یک دستگاه Underdetermined، بررسی مسئله یافتن مقادیر ویژه یک ماتریس،‌ بیان اهمیت روش‌های تکراری برای حل مسئله با توجه به قضیه Abel-Ruffini، بیان قضایای گرشگورین و کاربرد آن‌ها در انتخاب حدس اولیه مناسب برای روش‌های تکراری، ارائه روش توانی و استفاده از آن برای یافتن مقادیر ویژه خاص، بررسی شرایط و نرخ هم‌گرایی در این روش، ارائه روش QR تکراری برای یافتن مقادیر ویژه، بررسی حساسیت در مسئله مقادیر ویژه (Bauer-Fike Theorem)

مراجع:
  • E. Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley, 1989
  • D. H. Griffel, Applied Functional Analysis, Wiley, 2002
  • B. N. Datta, Numerical Linear Algebra and Applications, Cole Publishing Company, 1995
  • J. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997

 
آخرین به‌روزرسانی: 19 / 4 / 1403